Расчет дифференцирующих и интегрирующих цепей. Интегрирующая и дифференцирующая цепи RC. «Дифференцирующие и интегрирующие цепи»

В дифференцирующей цепи (рис. 11.2, а) постоянная вре­мени должна быть малой по сравнению с длительностью им­пульсов. Эту цепь применяют в тех случаях, когда импульсы сравнительно большой длительности необходимо преобразовать в короткие запускающие импульсы с крутым фронтом. Цепь сохраняет крутой фронт импульса в той же полярности и по су­ществу ведет себя как фильтр верхних частот, ослабляющий низкочастотные и пропускающий высокочастотные составляю­щие импульса.

При подаче напряжения на конденсатор протекающий через него ток пропорционален производной приложенного к конден­сатору напряжения е с:

(11.4)

При малой постоянной времени сопротивление резистора ока­зывается значительно больше реактивного сопротивления кон­денсатора. Поэтому выходное напряжение, равное падению на­пряжения на резисторе, приближенно выражается формулой

(11.5)

На рис. 11.2,6 и в показаны соответственно формы импуль­са на входе и выходе дифференцирующей цепи. От начального момента действия импульса и в течение всей его длительности к входу схемы прикладывается постоянное напряжение. Если при подаче входного импульса конденсатор Ci не был заряжен, то в первый момент через конденсатор, а также через рези стор R1 будет протекать большой ток. Таким образом, на рези­сторе сразу же появляется большое падение напряжения, бла­годаря чему на выходе очень быстро нарастает фронт импульса (рис. 11.2, в). По мере заряда конденсатора протекающий че­рез него ток уменьшается со скоростью, зависящей от постоян­ной времени цепи. При малой постоянной времени конденса­тор быстро заряжается и ток перестает протекать по цепи. Та­ким образом, когда конденсатор полностью заряжен, напряже­ние на резисторе R 1 спадает до нулевого уровня. В момент окончания действия импульса входное напряжение уменьшает­ся до нуля, и конденсатор начинает разряжаться. Ток разряда конденсатора имеет противоположное но сравнению с током за­ряда направление, следовательно, направление тока через рези­стор также противоположно току заряда. Поэтому на выходе теперь появится отрицательный всплеск напряжения.

Рис. 11.2. Дифференцирующая цепь (а) и форма импульса на входе (б) и выходе (в) цепи.

На практике на вход дифференцирующей цепи обычно по­даются импульсы. Если же на вход дифференцирующей цепи подать синусоидальные колебания, то их форма не изменится, но произойдут сдвиг фазы выходного колебания и уменьшение амплитуды этих колебаний на величины, зависящие от частоты входного сигнала. Другой тип дифференцирующей схемы мож­но получить, если C 1 заменить резистором, а R 1 - индуктив­ностью. В такой цепи фактором, определяющим качество диф­ференцирования, является также постоянная времени. Как и в интегрирующей цепи, омическое сопротивление катушки индук­тивности ухудшает характеристики схемы. Поэтому такую цепь применяют довольно редко.

RC-цепь - электрическая цепь, состоящая из конденсатора и резистора. Её можно рассматривать как делитель напряжения с одним из плеч, обладающих ёмкостным сопротивлением переменному току.

Коэффициент передачи

Интегрирующая RC-цепочка (рис 2) Диффер-ая рис 1

Анализируем RC-цепочку. Применяется как:

1. фильтр частот

Пассивный фильтр

Пассивным электрическим фильтром называется электрическая цепь, предназначенная для выделения определенной полосы частот из сигнала, поступающего на его вход.

Фильтр верхних частот (затухание сигнала)

RC-цепь + ОУ(не даёт затух.сигн,стабильн,коэф пропускания ,усил сигнал

Активный фильтр-менять избирательность фильтра.

Фильтр нижних частот

Коэф передачи

Дифференцирующей цепью называют линейный четырехполюсник, у которого выходное напряжение пропорционально производной входного напряжения. Принципиальная схема дифференцирующей rC -цепи приведена на рис. 5.13, а. Выходное напряжение u вых снимается с резистора r . По второму закону Кирхгофа

а следовательно,

Основные свойства и характеристики п/п. Собственная и примесная проводимость. Зонная энергетическая диаграмма. Уровень Ферми. Генерация и рекомбинация носителей. Время жизни и диффузионная длина. Диффузия и дрейф.

По электрическому сопротивлению полупроводники занимают промежуточное место между проводниками и изоляторами. Полупроводниковые диоды и триоды имеют ряд преимуществ: малый вес и размеры, значительно больший срок службы, большую механическую прочность.

Рассмотрим основные свойства и характеристики полупровод­ников. В отношении их электрической проводимости полупровод­ники разделяются на два типа: с электронной проводимостью и с дырочной проводимостью.

Полупроводники с электронной проводимостью имеют так на­зываемые «свободные» электроны, которые слабо связаны с ядрами атомов. Если к этому полупроводнику приложить разность потенциалов, то «свободные» электроны будут двигаться поступательно – в определенном направлении, создавая, таким образом, электри­ческий ток. Поскольку в этих типах полупроводников электрический ток представляет собой перемещение отрицательно заря­женных частиц, они получили название проводников типа п (от слова negative - отрицательный).

Полупроводники с дырочной проводимостью называются полу­проводниками типа р (от слова positive - положительный). Прохождение электрического тока в этих типах полупроводников можно рассматривать как перемещение положительных зарядов. В полупроводниках с р -проводимостью нет свободных электронов; если атом полупроводника под влиянием каких-либо причин по­теряет один электрон, то он будет заряжен положительно.

Отсутствие одного электрона в атоме, вызывающее положи­тельный заряд атома полупроводника, назвали дыркой (это зна­чит, что образовалось свободное место в атоме). Теория и опыт показывают, что дырки ведут себя как элементарные положитель­ные заряды.

Дырочная проводимость состоит в том, что под влиянием при­ложенной разности потенциалов перемещаются дырки, что равно­сильно перемещению положительных зарядов. В действительности, при дырочной проводимости происходит следующее. Предположим, что имеются два атома, один из которых снабжен дыркой (отсут­ствует один электрон на внешней орбите), а другой находящий­ся справа, имеет все электроны на своих местах (назовем его ней­тральным атомом). Если к полупроводнику приложена разность потенциалов, то под влиянием электрического поля электрон из нейтрального атома, у которого все электроны на своих местах, переместится влево на атом, снабженный дыркой. Благодаря этому атом, имевший дырку, становится нейтральным, а дырка пере­местилась вправо на атом, с которого ушел электрон. В полупровод­никовых приборах процесс «заполнения » дырки свободным электро­ном называется рекомбинацией . В результате рекомбинации исчезает и свободный электрон, и дырка, а создается нейтральный атом. И так, перемещение дырок происходит в направлении, противоположном движению электронов.

В абсолютно чистом (собственном) полупроводнике под действием тепла или света электроны и дырки рождаются парами, поэтому число электронов и дырок в собственном полупроводнике одинаково.

Для создания полупроводников с резко выраженными концентрациями электронов или дырок чистые полупроводники снабжают примесями, образуяпримесные полупроводники . Примеси бывают донорные, дающие электроны, и акцепторные , образующие дырки (т. е. отрывающие электроны от атомов). Следовательно, в полупроводнике с донорной примесью проводимость будет преимущественно электронной, или n – проводимостью. В этих полупроводниках основными носителями зарядов являются электроны, а неосновными – дырки. В полупроводнике с акцепторной примесью, наоборот, основными носителями зарядов являются дырки, а неосновными – электроны; это – полупроводники; с р -проводимостью.

Основными материалами для изготовления полупроводниковых диодов и триодов служат германий и кремний; по отношению к ним донорами являются сурьма, фосфор, мышьяк; акцепторами – индий, галлий, алюминий, бор.

Примеси, которые обычно добавляются в кристаллический полупроводник, резко изменяют физическую картину прохождения электрического тока.

При образовании полупроводника с n -проводимостью в полу­проводник добавляется донорная примесь: например, в полупро­водник германий добавляется примесь сурьмы. Атомы сурьмы, являющиеся донорными, сообщают германию много «свободных» электронов, заряжаясь при этом положительно.

Таким образом, в полупроводнике n-проводимости, образован­ного примесью, имеются следующие виды электрических заря­дов:

1 -подвижные отрицательные заряды (электроны), являющиеся основными носителями (как от донорной примеси, так и от соб­ственной проводимости);

2 -подвижные положительные заряды (дырки) – неосновные носители, возникшие от собственной проводимости;

3 -неподвижные положительные заряды – ионы донорной при­меси.

При образовании полупроводника с р-проводимостью в полупроводник добавляется акцепторная примесь: например, в полупроводник германий добавляется примесь индия. Атомы индия являющиеся акцепторными, отрывают от атомов германия элек­троны, образуя дырки. Сами атомы индия при этом заряжаются отрицательно.

Следовательно, в полупроводнике р-проводимости имеются сле­дующие виды электрических зарядов:

1 -подвижные положительные заряды (дырки) – основные но­сители, возникшие от акцепторной примеси и от собственной про­водимости;

2 -подвижные отрицательные заряды (электроны) – неоснов­ные носители, возникшие от собственной проводимости;

3 -неподвижные отрицательные заряды – ионы акцепторной примеси.

На рис. 1 показаны пластинки р -германия (а) и n -германия (б) с расположением электрических зарядов.

Собственная проводимость полупроводников . Собственным полупроводником,или же полупроводником i-типа называется идеально химически чистый полупроводник с однородной кристаллической решёткой. Ge Si

Кристаллическая структура полупроводника на плоскости может быть определена следующим образом.

Если электрон получил энергию, большую ширины запрещённой зоны, он разрывает ковалентную связь и становится свободным. На его месте образуется вакансия, которая имеет 4-хвалентный

положительный заряд, равный по величине заряду электрона и называется дыркой. В полупроводнике i-типа концентрация электронов ni равна концентрации дырок pi. То есть ni=pi.

Процесс образования пары зарядов электрон и дырка называется генерацией заряда.

Свободный электрон может занимать место дырки, восстанавливая ковалентную связь и при этом излучая избыток энергии. Такой процесс называется рекомбинацией зарядов. В процессе рекомбинации и генерации зарядов дырка как бы движется в обратную сторону от направления движения электронов, поэтому дырку принято считать подвижным положительным носителем заряда. Дырки и свободные электроны, образующиеся в результате генерации носителей заряда, называются собственными носителями заряда, а проводимость полупроводника за счёт собственных носителей заряда называется собственной проводимостью проводника.

2) Примесная проводимость проводников.

Так как у полупроводников i-типа проводимость существенно зависит от внешних условий, в

Полупроводниковых приборах применяются примесные полупроводники.

Если в полупроводник ввести пятивалентную примесь, то 4 валентных электрона восстанавливают ковалентные связи с атомами полупроводника, а пятый электрон остаётся свободным. За счёт этого концентрация свободных электронов будет превышать концентрацию дырок. Примесь, за счёт которой ni>pi, называется донорной примесью.

Полупроводник, у которого ni>pi, называется полупроводником с электронным типом

проводимости, или полупроводником n-типа.

В полупроводнике n-типа электроны называются основными носителями заряда, а дырки– неосновными носителями заряда.

При введении трёхвалентной примеси три её валентных электрона восстанавливают ковалентную связь с атомами полупроводника, а четвёртая ковалентная связь оказывается не восстановленной, т. е. имеет место дырка.

В результатеэтогоконцентрациядырокбудетбольшекон-центрацииэлектронов.

Примесь, при которой pi>ni, называется акцепторной примесью.

Полупроводник, у которого pi>ni, называется полупроводником с дырочным типом

проводимости, или полупроводником p-типа.

В полупроводнике p-типа дырки называются основными носителями заряда, а электроны– неосновными носителями заряда.

В импульсных устройствах задающий генератор часто вырабатывает импульсы прямоугольной формы определенной длительности и амплитуды, которые предназначаются для представления чисел и управления элементами вычислительных устройств, устройств обработки информации и др. Однако для правильного функционирования различных элементов в общем случае требуются импульсы вполне определенной формы, отличной от прямоугольной, имеющие заданные длительность и амплитуду. Вследствие этого возникает необходимость предварительно преобразовывать импульсы задающего генератора. Характер преобразования может быть разным. Так, может потребоваться изменить амплитуду или полярность, длительность задающих импульсов, осуществить их задержку во времени.

Преобразования в основном осуществляются с помощью линейных цепей - четырехполюсников, которые могут быть пассивными и актив­ными. В рассматриваемых цепях пассивные четырехполюсники не содер­жат в своем составе источников питания, активные используют энергию внутренних или внешних источников питания. С помощью линейных цепей осуществляются такие преобразования, как дифференцирование, интегрирование, укорочение импульсов, изменение амплитуды и поляр­ности, задержка импульсов во времени. Операции дифференцирования, интегрирования и укорочения импульсов выполняются соответственно дифференцирующими, интегрирующими и укорачивающими цепями. Изменение амплитуды и полярности импульса может производиться с помощью импульсного трансформатора, а задержка его во времени - линией задержки.

Интегрирующая цепь . На рис. 19.5 приведена схема простейшей цепи (пассивного четырехполюсника), с помощью которой можно выполнить операцию интегрирования входного электрического сигнала, подан­ного на зажимы 1-1 | , если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2".

Составим уравнение цепи для мгновенных значений токов и напря­жений по второму закону Кирхгофа:

Отсюда следует, что ток цепи будет изменяться по закону

Если выбрать постоянную временидостаточно большой, то вторым слагаемым в последнем уравнении можно пренебречь, тогдаi(t) = u вх (t)/R.

Напряжение на конденсаторе (на зажимах 2-2") будет равно

(19.1)

Из (19.1) видно, что цепь, приведенная на рис. 19.5, выполняет опе­рацию интегрирования входного напряжения и умножения его на коэф­фициент пропорциональности, равный обратному значению постоянной времени цепи:

Временная диаграмма выходного напряжения интегрирующей цепи при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов показана на рис. 19.6.

Дифференцирующая цепь . С помощью цепи, схема которой приведена на рис. 19.7 (пассивного четырехполюсника), можно выполнять операцию дифференцирования входного электрического сигнала, поданного на зажимы 1-1", если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2". Составим уравнение цепи для мгновенных значений тока и напряжений по второму закону Кирхгофа:

Если сопротивление R мало и членом i(t)R можно пренебречь, то ток в цепи и выходное напряжение цепи, снимаемое с R,

(19.2)

Анализируя (19.2), можно видеть, что с помощью рассматриваемой цепи выполняют операции дифференцирования входного напряжения и умножения его на коэффициент пропорциональности, равный постоян­ной времени τ = RC. Форма выходного напряжения дифференцирующей цепи при подаче на вход серии прямоугольных импульсов приведена на рис. 19.8. В этом случае теоретически выходное напряжение должно представлять собой знакопеременные импульсы бесконечно большой амплитуды и малой (близкой к нулю) длительности.

Однако вследствие различия свойств реальной и идеальной диф­ференцирующих цепей, а также конечной крутизны фронта импульса на выходе получают импульсы, амплитуда которых меньше амплитуды входного сигнала, а длительность их определяется как t и = (3 ÷ 4) τ = (3 ÷ 4)RС.

В общем случае форма выходного напряжения зависит от соотно­шения длительности импульса входного сигнала t и и постоянной вре­мени дифференцирующей цепи τ. В момент t 1 входное напряжение при­ложено к резистору R, так как напряжение на конденсаторе скачком изменяться не может. Затем напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону, а напряжение на резисторе R, т. е. выходное напряжение, снижается по экспоненциальному закону и становится рав­ным нулю в момент t 2 , когда зарядка конденсатора закончится. При малых значениях τ длительность выходного напряжения мала. Когда напряжение u BX (t) становится равным нулю, конденсатор начинает разряжаться через резистор R. Таким образом формируется импульс обратной полярности.

П
ассивные интегрирующие и дифференцирующие цепи имеют сле­дующие недостатки: обе математические операции реализуются прибли­женно, с известными погрешностями. Приходится вводить корректи­рующие звенья, которые, в свою очередь, сильно снижают амплитуду выходного импульса, т. е. без промежуточного усиления сигналов практически невозможныn-кратные дифференцирование и интегриро­вание.

Эти недостатки не свойственны активным дифференцирующему и интегрирующему устройствам. Одним из возможных способов реали­зации этих устройств является применение операционных усилителей (см. гл. 18).

Активное дифференцирующее устройство . Схема такого устройства на операционном усилителе приведена на рис. 19.9. Ко входу 1 подключен конденсатор С, а в цепь обратной связи включен резистор R oc . Так как входное сопротивление чрезвычайно велико (R вх -> ∞), то входной ток обтекает схему по пути, указанному пунктиром. С другой сторо­ны, напряжение и вхОУ в этом включении очень мало, так как К u -> ∞, поэтому потенциал точки В схемы практически равен нулю. Следовательно, ток на входе

(19.3)

Ток на выходе i(t) одновременно является зарядным током кон­денсатора С: dq= Сdu BX (t), откуда

(19.4)

Приравнивая левые части уравнений (19.3) и (19.4), можно написать -и вых (t)/R oc = С du вх (t)/dt, откуда

(19.5)

Таким образом, выходное напряжение операционного усилителя является произведением производной входного напряжения по времени, умноженной на постоянную времени τ = R ОС С.

А
ктивное интегрирующее устройство . Схема интегрирующего устройст­ва на операционном усилителе, приведенная на рис. 19.10, отличается от дифференцирующего устройства рис. 19.9 только тем, что конденсатор С и резистор R oc (на рис. 19.10 -R 1) поменялись местами. По-прежнему R вх -> ∞ и коэффициент усиления по напряжению К u -> ∞. Следовательно, в устройстве конденсатор С заряжается током i(t) =u BX (t)/R 1 . Так как напряжение на конденсаторе практически равно выходному напряжению (φ B = 0), а операционный усилитель изменяет фазу входного сигнала на выходе на угол π, имеем

(19.6)

Таким образом, выходное напряжение активного интегрирующего устройства есть произведение определенного интеграла от входного напряжения по времени на коэффициент 1/τ.

Постоянная времени цепи RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt) , а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R , где U - напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const .
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e -t/RC * e Const .
Решение примет вид:

U = e -t/RC * Const.

Здесь Const - константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e -t/RC .

Экспонента - функция exp(x) = e x
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828...

Постоянная времени τ

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U , в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U C и определится выражением:

Тогда напряжение U C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

U C = U(1 - e -t/RC )

При t = RC , напряжение на конденсаторе составит U C = U(1 - e -1 ) = U(1 - 1/e) .
Время, численно равное произведению RC , называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ .

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 - 1/e )*100% ≈ 63,2% значения U .
За время 3τ напряжение составит (1 - 1/e 3)*100% ≈ 95% значения U .
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 - 1/e 5)*100% ≈ 99% значения U .

Если к конденсатору емкостью C , заряженному до напряжения U , параллельно подключить резистор сопротивлением R , тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U C = Ue -t/τ = U/e t/τ .

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e , что составит 1/e *100% ≈ 36.8% значения U .
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e 3)*100% ≈ 5% от значения U .
За время 5τ до (1/e 5)*100% ≈ 1% значения U .

Параметр τ широко применяется при расчётах RC -фильтров различных электронных цепей и узлов.

Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах

Электрической цепи

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где и - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

See more at: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf

Интегрирующая цепь RC

Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C , представленную на рисунке.

Элементы R и C соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R . Напряжение на выводах резистора обозначим U R .
Тогда будет иметь место равенство:

Проинтегрируем последнее выражение . Интеграл левой части уравнения будет равен U out + Const . Перенесём постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC вынесем за знак интеграла:

В итоге получилось, что выходное напряжение U out прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора, следовательно, и входному току I in .
Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи.

Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U out от интеграла входного U in , необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.

Нелинейное соотношение U in /I in во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e -t/τ , которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1, то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ .
Здесь t - время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ = RC - постоянная времени - произведение величин R и C .
Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t , тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ ) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.

Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость U in /I in ≈ R .
В таком случае выходное напряжение U out будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U in .
Чем больше величины номиналов RC , тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.

В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const , тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.

В качестве примера, сигнал с генератора - положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:
R = 10 kOhm, С = 1 uF. Тогда τ = RC = 10 mS.

В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a ), а интеграл константы будет линейной функцией. ∫adx = ax + Const . Величина константы a определит тангенса угла наклона линейной функции.

Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const .
В данном случае постоянная составляющая Const = 0.

Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции - парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x 2 /2 + Const .
Знак множителя определит направление параболы.

Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.

Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.

С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:

I in = I R = U in /R = - I C .

Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора U C = U out = - U in .
Следовательно, U out определится, исходя из тока общей цепи.

При номиналах элементов RC , когда τ = 1 Sec, выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку. Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.

Дифференцирующая цепь RC

Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.

Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов I R = - I C по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение U out = U R = - U in = - U C .
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:

U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)

Отсюда видим, что выходное напряжение U out пропорционально производной заряда конденсатора dU in /dt , как скорости изменения входного напряжения.

При величине постоянной времени RC , равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения, но противоположно по знаку. Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.

Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.

В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы. На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.

Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.

Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e -t/RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса T i на выходе интегрирующей цепочки увеличится на время 3τ . Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.

На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно, так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.

Здесь 5% - величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.